الرياضيات الأساسية الأمثلة

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y^{2} - 18 y}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2} - 18 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y \cdot y - 18 y}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 18 y$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y \cdot y + y \cdot - 18}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot y + y \cdot - 18$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{y^{2} + 2 y - 8} - \frac{y + 4}{y - 2}$

خطوة 1.2

حلّل $y^{2} + 2 y - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $2$ .

$- 2, 4$

خطوة 1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y + 4, (y - 2) (y + 4), y - 2$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $y + 4$ هو $y + 4$ نفسها.

$(y + 4) = y + 4$

تحدث $(y + 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $y - 2$ هو $y - 2$ نفسها.

$(y - 2) = y - 2$

تحدث $(y - 2)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

عامل $y + 4$ هو $y + 4$ نفسها.

$(y + 4) = y + 4$

تحدث $(y + 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.8

عامل $y - 2$ هو $y - 2$ نفسها.

$(y - 2) = y - 2$

تحدث $(y - 2)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.9

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 4, y - 2, y + 4, y - 2$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(y + 4) (y - 2)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$ في $(y + 4) (y - 2)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{y + 1}{y + 4} = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} - \frac{y + 4}{y - 2}$ في $(y + 4) (y - 2)$ .

$\frac{y + 1}{y + 4} ((y + 4) (y - 2)) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 1}{y + 4} ((y + 4) (y - 2)) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y + 1) (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.2

وسّع $(y + 1) (y - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (y - 2) + 1 (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 1 (y - 2) = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot y + y \cdot - 2 + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 2 + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $y$ .

$y^{2} - 2 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.3.1.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y^{2} - 2 y + y + 1 \cdot - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.3.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$y^{2} - 2 y + y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.2.3.2

أضف $- 2 y$ و $y$ .

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y - 2) (y + 4)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(y + 4) (y - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أخرِج العامل $(y + 4) (y - 2)$ من $(y - 2) (y + 4)$ .

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y + 4) (y - 2) (1)} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} - y - 2 = \frac{y (y - 18)}{(y + 4) (y - 2) \cdot 1} ((y + 4) (y - 2)) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} - y - 2 = y (y - 18) - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} - y - 2 = y \cdot y + y \cdot - 18 - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} + y \cdot - 18 - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.4

انقُل $- 18$ إلى يسار $y$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 \cdot y - \frac{y + 4}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y + 4}{y - 2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y + 4) (y - 2))$

خطوة 3.3.1.5.2

أخرِج العامل $y - 2$ من $(y + 4) (y - 2)$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y - 2) (y + 4))$

خطوة 3.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y + \frac{- (y + 4)}{y - 2} ((y - 2) (y + 4))$

خطوة 3.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - (y + 4) (y + 4)$

خطوة 3.3.1.6

ارفع $y + 4$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - ({(y + 4)}^{1} (y + 4))$

خطوة 3.3.1.7

ارفع $y + 4$ إلى القوة $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - ({(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1})$

خطوة 3.3.1.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{1 + 1}$

خطوة 3.3.1.9

أضف $1$ و $1$ .

$y^{2} - y - 2 = y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2}$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} = y^{2} - y - 2$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} = - y - 2$

خطوة 4.2.2

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} + y = - 2$

خطوة 4.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - 18 y - {(y + 4)}^{2} - y^{2} + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$- 18 y - {(y + 4)}^{2} + 0 + y = - 2$

خطوة 4.2.3.2

أضف $- 18 y - {(y + 4)}^{2}$ و $0$ .

$- 18 y - {(y + 4)}^{2} + y = - 2$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أعِد كتابة ${(y + 4)}^{2}$ بالصيغة $(y + 4) (y + 4)$ .

$- 18 y - ((y + 4) (y + 4)) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.2

وسّع $(y + 4) (y + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 18 y - (y (y + 4) + 4 (y + 4)) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 18 y - (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4)) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 18 y - (y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$- 18 y - (y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.3.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$- 18 y - (y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.3.1.3

اضرب $4$ في $4$ .

$- 18 y - (y^{2} + 4 y + 4 y + 16) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.3.2

أضف $4 y$ و $4 y$ .

$- 18 y - (y^{2} + 8 y + 16) + y = - 2$

خطوة 4.2.4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- 18 y - y^{2} - (8 y) - 1 \cdot 16 + y = - 2$

خطوة 4.2.4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- 18 y - y^{2} - 8 y - 1 \cdot 16 + y = - 2$

خطوة 4.2.4.5.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- 18 y - y^{2} - 8 y - 16 + y = - 2$

خطوة 4.2.5

اطرح $8 y$ من $- 18 y$ .

$- y^{2} - 26 y - 16 + y = - 2$

خطوة 4.2.6

أضف $- 26 y$ و $y$ .

$- y^{2} - 25 y - 16 = - 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$- y^{2} - 25 y - 16 + 2 = 0$

خطوة 4.3.2

أضف $- 16$ و $2$ .

$- y^{2} - 25 y - 14 = 0$

خطوة 4.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.5

عوّض بقيم $a = - 1$ و $b = - 25$ و $c = - 14$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 14)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

ارفع $- 25$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot - 1 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 4.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 1 \cdot - 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 + 4 \cdot - 14}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 4.6.1.2.2

اضرب $4$ في $- 14$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 56}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 4.6.1.3

اطرح $56$ من $625$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{569}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 4.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{25 \pm \sqrt{569}}{- 2}$

خطوة 4.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{25 \pm \sqrt{569}}{2}$

خطوة 4.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{25 + \sqrt{569}}{2}, - \frac{25 - \sqrt{569}}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$y = - \frac{25 + \sqrt{569}}{2}, - \frac{25 - \sqrt{569}}{2}$

الصيغة العشرية:

$y = - 24.42686044 \dots, - 0.57313955 \dots$